Radicación utilizando radical simple en el denominador y radicación con suma y resta en el denominador aplicando el conjugado.

Radiación utilizando radical simple en el Denominador

√ y 22–√ representan el mismo número, al igual que 13 y 26, en este último caso decimos que la primera fracción está simplificada. Pero qué quiere decir que un radical está en su forma simplificada.

Existe la convención de escribir un radical en su forma simplificada. Está forma contempla:

1. El radicando sin ningún factor con exponente mayor o igual al índice de la raíz

2. Un radicando sin fracciones.

3. El denominador sin radicales

4. El índice el más pequeño posible entre todas las expresiones equivalentes.

Debes tener presente que una forma radical no está simplificado si tiene el mismo índice y radicando que otro radical no simplificado. Así los siguientes  no están simplificados, pues tienen el mismo índice y radicando que  respectivamente.

Raíces exactas Si a−−√n es un número real, se tiene que

an−−√n=a

pues cumple con la definición de la raíz de un número. Esto lo podemos extender a potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz.

Asuma que a−−√n es un número real, se tiene que aplicando la propiedad de potencia de una potencia y luego la raíz de una potencia que

an⋅m−−−−√n=(an)m−−−−−√n     =(an−−√n)m

    =am

Así, de una vez, si a−−√n es un número real, tenemos que

an⋅m−−−−√n=am

Esta propiedad ahorra mucho trabajo para simplificar radicales.

Ejemplo Simplificar 212−−−√3

Solución Podemos aplicar el resultado anterior porque el exponente es múltiplo del índice de la raíz.

Propiedad de la raíz de un producto para simplificar

Si el radicando está escrito en su descomposición de números primos, lo primero es expresar cada exponente como una suma de múltiplos del índice más un número menor al índice. Luego, descomponer cada potencia como un producto, asociar las potencias con exponentes menores al índice para finalmente aplicar la propiedad de la raíz de un producto y simplificar los radicales.

Ejemplos

Decimos que hemos eliminado todos los factores posibles del radicando.

Al lado te explicamos otras formas de proceder.

Para expresar un exponente como una suma de un múltiplo del índice más un número menor al índice podemos usar la dición del exponente entre el índice.

   Exponente = ( Cociente ) x ( Índice ) +( Resto )

Ejercicio resuelto paso por paso Simplificar

26⋅327⋅712−−−−−−−−−√4

Ejemplos de radicales no simplificados

Claro, hay radicales no simplificados que no cumplen más de una condición, pero por ahora veamos cómo llevar radicales con esta situación a radicales simplificados.

Radiación con suma y resta en el denominador aplicando el conjugado

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador por

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción  , multiplicaremos numerador y denominador por

Otro ejemplo. Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por  para eliminar la raíz del denominador:

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

 , como vemos da el mismo resultado.

2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo  , multiplicamos numerador y denominador por

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo  

3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

Por ejemplo:

Factorizamos el radicando del denominador:  , y como  , vamos a multiplicar numerador y denominador por  para completar la potencia de 5.

Otro ejemplo:

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por

Otro ejemplo más

Racionalizar el denominador de la fracción:

Multiplicamos numerador y denominador por

Por tanto podemos escribir que .