Ejemplos y definición de números enteros y sus operaciones
La unión del conjunto de los números
enteros positivos y el conjunto de los números enteros negativos da como
resultado el conjunto de los números enteros:
{…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… }
La utilidad del conjunto de
los números enteros radica en la capacidad de representar ganancias o
pérdidas, alturas por encima o por debajo de una referencia, temperaturas
superiores o inferiores a una temperatura de referencia, etc.
·
Cuando se realiza una apuesta se puede representar una ganancia de 100
unidades monetarias con +100 o una perdida de 80 unidades monetarias con -80.
·
La posición sobre el nivel del mar se puede representar con +150 metros
o una posición por debajo del nivel del mar se puede representar con -76
metros.
·
Los niveles de temperatura se pueden representar por +21ºC o por -10ºC.
Estos ejemplos muestran la necesidad de utilizar los signos + y – para indicar
una posición.
·
El cambio en las unidades vendidas de un cierto producto respecto al mes
anterior se puede representar con +300 unidades o -200 unidades.
Estos ejemplos muestran la necesidad
y utilidad de representar las cantidades con los signos + y –.
Los números enteros positivos
se representan a la derecha del origen de la recta numérica y
los números enteros se representan a la izquierda del origen. Dos
puntos a y -a son equidistantes
de el origen y se localizan a lados opuestos del mismo. Los números aumentan de
valor hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda.
Ejemplos:
·
-10<0
·
-5<-2
·
0>-2
·
0<3
·
7<11
·
15>-20
Suma de números enteros
·
La suma de dos números enteros cualesquiera es otro número
entero:
·
-5+7=2
·
-61+30=-31
·
45-120=-75
·
La suma de dos números enteros positivos es otro número
entero positivo:
·
5+7=12
·
61+30=91
·
45+120=165
·
La suma de dos números enteros negativos es otro número
entero negativo:
·
-5+(-7)=-12
·
-61+(-30)=-91
·
-45+(-120)=-165
También, se sabe que si a y b son
dos números enteros cualesquiera se cumple que:
·
(-a)+(-b)=-(a+b)
·
(-2)+(-6)=-(2+6)=-8
·
(-4)+(-8)=-(4+8)=-12
·
(-7)+(-9)=-(7+9)=-16
·
(-11)+(-17)=-(11+17)=-28
·
(-15)+(-12)=-(15+12)=-27
·
(-43)+(-36)=-(43+36)=-79
·
(-74)+(-68)=-(74+68)=-142
·
(-56)+(-89)=-(56+89)=-145
·
(-256)+(-514)=-(256+514)=-770
·
(-319)+(-790)=-(319+790)=-1109
·
a+(-b)=(-b)+a
·
2+(-6)=(-6)+2=-4
·
4+(-8)=(-8)+4=-4
·
7+(-9)=(-9)+7=-2
·
11+(-17)=(-17)+11=-6
·
15+(-12)=(-12)+15=3
·
43+(-36)=(-36)+43=7
·
74+(-68)=(-68)+74=6
·
56+(-89)=(-89)+56=-33
·
256+(-514)=(-514)+256=-258
·
319+(-790)=(-790)+319=-471
Resta de números enteros
Cuando la suma de dos números
cualesquiera a y -a resulta
cero, se dice que los números son inversos aditivos.
Ejemplos:
·
3-3=0
·
8-8=0
·
18-18=0
·
11-11=0
·
81-81=0
·
46-46=0
Esto implica que ambos números a y -a son equidistantes y
se encuentran a la misma distancia del origen, a hacia
la derecha y -a hacia la izquierda.
Para cada número a entero
positivo existe un número único -a tal que:
a-a=0
Siendo a y -a inversos
aditivos, al número -a se le llama negativo del
número a.
Si a y b son
números enteros se tiene que:
a-b=a+(-b)
Esto quiere decir que restar b de a es
igual que sumar el inverso aditivo de b al número a.
Ejemplos:
·
2-6=2+(-6)=-4
·
8-3=8+(-3)=5
·
15-5=15+(-5)=10
·
35-7=35+(-7)=28
·
46-20=46+(-20)=26
Si a es mayor
que b (a>b) se tiene que el resultado
de la resta será un número entero positivo (a-b>0):
Ejemplos:
·
10-5=5
·
18-4=14
·
255-95=150
Si a es igual
a b (a=b) se tiene que el resultado de la
resta será cero (a-b=0):
Ejemplos:
·
10-10=0
·
18-18=0
·
255-255=0
Si a es menor
que b (a<b) se tiene que el resultado de la
resta será un número entero negativo (a-b<0):
Ejemplos:
·
5-10=-5
·
4-18=-14
·
95-255=-150
También, se cumple que si a y b son
dos número enteros cualesquiera y a es diferente
de b (a≠b), entonces, a-b≠b-a
Ejemplos:
·
9-4=5 y 4-9=-5, entonces 5≠-5
·
45-21=24 y 21-45=-24, entonces 24≠-24
·
151-45=106 y 45-154=-106, entonces 106≠-106
Otra propiedad que se cumple es que
+(-a)=-a
Ejemplos:
·
+(-8)=-8
·
+(-50)=-50
·
+(-146)=-146
También, se puede escribir que:
a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a
Ejemplos:
·
2-6=2+(-6)=(-6)+2=-4
·
4-8=4+(-8)=(-8)+4=-4
·
7-9=7+(-9)=(-9)+7=-2
·
11-17=11+(-17)=(-17)+11=-6
·
15-12=15+(-12)=(-12)+15=3
·
43-36=43+(-36)=(-36)+43=7
·
74-68=74+(-68)=(-68)+74=6
·
56-89=56+(-89)=(-89)+56=-33
·
256-514=256+(-514)=(-514)+256=-258
·
319-790=319+(-790)=(-790)+319=-471
Y también se cumple que:
-a-b=(-a)+(-b)=-(a+b)
Ejemplos:
·
-2-6=(-2)+(-6)=-(2+6)=-8
·
-4-8=(-4)+(-8)=-(4+8)=-12
·
-7-9=(-7)+(-9)=-(7+9)=-16
·
-11-17=(-11)+(-17)=-(11+17)=-28
·
-15-12=(-15)+(-12)=-(15+12)=-27
·
-43-36=(-43)+(-36)=-(43+36)=-79
·
-74-68=(-74)+(-68)=-(74+68)=-142
·
-56-89=(-56)+(-89)=-(56+89)=-145
·
-256-514=(-256)+(-514)=-(256+514)=-770
·
-319-790=(-319)+(-790)=-(319+790)=-1109
Multiplicación de números enteros
Para dos números enteros
cualesquiera a y b, se tiene que:
El producto de dos números enteros
positivos da como resultado un número entero positivo:
(a)(b)=(ab)=ab
Ejemplos:
·
(3)(8)=24
·
(5)(4)=20
·
(7)(3)=21
El producto de dos números enteros
negativos da como resultado un número entero positivo:
(-a)(-b)=(ab)=ab
Ejemplos:
·
(-3)(-8)=24
·
(-5)(-4)=20
·
(-7)(-3)=21
El producto de dos números enteros de
diferente signo da como resultado un número entero negativo:
a(-b)=-(ab)=-ab
-a(b)=-(ab)=-ab
Ejemplos:
·
3(-8)=-24
·
5(-4)=-20
·
7(-3)=-21
·
-5(2)=-10
·
-9(4)=-36
·
-11(3)=-33
La multiplicación de un número entero
cualquiera y cero es cero (a·0=0).
Ejemplos:
·
5·0=0
·
16·0=0
·
49·0=0
División de números enteros
Si se consideran tres números
enteros a, b y c,
con b≠0 y a=bc, entonces:
a÷b=c
Y se les conoce como:
a como
dividendo
b como divisor
y
c como
cociente.
Es decir que si consideramos la
multiplicación (4)(8)=32, entonces:
32÷4=8
Y:
32 es el dividendo
4 es el divisor y
8 es el cociente.
La división de dos números enteros
positivos da como resultado otro número positivo que no siempre resulta
pertenecer al conjunto de los números enteros:
Ejemplos:
·
15÷3=5 (5 es un número entero y positivo)
·
21÷3=7 (7 es un número entero y positivo)
·
32÷4=8 (8 es un número entero y positivo)
·
55÷5=11 (11 es un número entero y positivo)
·
52÷4=13 (13 es un número entero y positivo)
·
15÷4=3.75 (3.75 NO es un número entero pero es
positivo)
·
220÷100=2.2 (2.2 NO es un número entero pero es
positivo)
La división de dos números enteros
negativos da como resultado un número positivo que no siempre resulta
pertenecer al conjunto de los números enteros:
Ejemplos:
·
(-15) ÷ (-3)=5 (5 es un número entero y positivo)
·
(-21) ÷ (-3)=7 (7 es un número entero y positivo)
·
(-32) ÷ (-4)=8 (8 es un número entero y positivo)
·
(-55) ÷ (-5)=11 (11 es un número entero y positivo)
·
(-52) ÷ (-4)=13 (13 es un número entero y positivo)
·
(-15) ÷ (-4)=3.75 (3.75 NO es un número entero
pero es positivo)
·
(-220) ÷ (-100)=2.2 (2.2 NO es un número entero
pero es positivo)
La división entre números enteros de
diferente signo da como resultado un número negativo que puede ser entero o no
serlo:
Ejemplos:
·
(-15)÷3=-5 (-5 es un número entero y negativo)
·
21÷(-3)=-7 (-7 es un número entero y negativo)
·
(-32)÷4=-8 (-8 es un número entero y negativo)
·
55÷(-5)=-11 (-11 es un número entero y negativo)
·
(-52)÷4=-13 (-13 es un número entero y negativo)
·
15÷(-4)=-3.75 (-3.75 NO es un número entero pero
es negativo)
·
(-220)÷100=-2.2 (-2.2 NO es un número entero pero
es negativo)
Dado que la división se define a
partir de la multiplicación y, la multiplicación de un número entero cualquiera
por cero da como resultado cero, se tiene que:
·
0÷7=0, ya que se busca un número entero a tal que
7·a=0, y este número entero a es igual a 0.
·
7÷0 no está definido, ya que se busca un número entero a tal
que 0·a=7, y ese número no existe.
·
0÷0 es un número indeterminado, ya que se busca un número entero a tal
que 0·a=0, y ese número puede ser cualquier número ya que: 0·2=0, 0·15=0,
0·456=0,… En este caso a no es número único.
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