¿Que
son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de
elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos
ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números
naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales
son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las
distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las
operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de
multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se
dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna
en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número
natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se
crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número
de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues
el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es
cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q
de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro
(salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los
números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades
de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades
asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.-
Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la
adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar
paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.-
Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque,
cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades
de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del
producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
(a • b) • c = a • (b • c)
Por ejemplo:
(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30
3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)
2.-
Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • b = b • a
Por ejemplo:
5 • 8 = 8 • 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque,
cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a • 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
a • (b + c) = a • b + a • c
Por ejemplo:
5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55
5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8
Propiedades
de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta
es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los
lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería
volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces
el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las
ovejas. Sabría que 6 – 2 = 4.
Los términos de la resta se
llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se
comieron los lobos).
Propiedades
de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo
mismo a – b que b – a)
Propiedades
de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para
repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el
número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le
corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso
contrario inexacta.
Propiedades
de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo
mismo a/b que b/a.
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