NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES FUNDAMENTALES
Las operaciones básicas, o fundamentales, son la suma, resta,
multiplicación y división.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
_____________
La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
__________________
Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal - , que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8, (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
______________________
Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
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La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
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Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal - , que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8, (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
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Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
Reglas de los signos.
Las operaciones básicas, o fundamentales, son la suma, resta,
multiplicación y división.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
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La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
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Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal -, que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8 (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
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Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
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La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
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Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal -, que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8 (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
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Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
Reglas de los signos.
Las operaciones básicas, o fundamentales, son la suma, resta,
multiplicación y división.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
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La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
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Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal -, que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8, (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
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Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
La operación básica de suma se puede obtener mediante las distintas resultantes de los segmentos en la recta numérica. En el caso de la resta, restaremos las distancias correspondientes; si las dos cantidades son negativas es como si se efectuase la suma. pero considerando el signo negativo.
Suma o adición
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La adición es una operación directa que tiene por objeto el reunir en uno solo los valores de varios números. Los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos y el resultado suma. La operación se indica con el signo +, el cual se coloca entre los sumandos y se lee "más"
Resta o substracción
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Es la operación inversa de la adición. El número que tiene el signo más se llama sumando y el que tiene el signo menos se llama substraendo; el resultado de la operación se llama diferencia entre los números. El signo de la operación es una raya horizontal -, que se lee "menos".
Ejemplo: 12 + (-4) = 8, (-13) + 3 = -10. La suma de un número positivo con un negativo puede dar como resultado un número negativo o positivo, depende del signo de los números a restar.
Multiplicación o producto.
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Se define esta operación diciendo que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como tantas unidades tiene otro llamado multiplicador.
El signo de la multiplicación se dio originalmente con el signo X, que es una cruz en aspa o un punto(.) entre los dos números, llamados multiplicandos y multiplicador. Actualmente se ha cambiado la cruz (símbolo de multiplicación) por el asterisco *, que es más usual en computación y es para no confundirlo con la variable x que emplearemos mucho en álgebra. Al resultado de la operación se le llama producto.
Reglas de los signos.
Propiedades de campo de los números reales.
Existen ciertas propiedades de
los números reales que debemos recordar. No se deben memorizar, lo que se debe
hacer es comprenderlas y aplicarlas en forma correcta.
Propiedades de campo de los números reales:
Para todo a, b, c, d ∈ ℜ; a ≠ 0:
1. CERRADURA a + b ∈ ℜ , a ⋅ b ∈ ℜ
2. CONMUTATIVA a + b = b + a , a ⋅ b = b ⋅ a
3. ASOCIATIVA a + (b + c) = (a + b) + c, a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
4. DISTRIBUTIVA a ⋅ (b + c − d) = a⋅b + a⋅b − a⋅d
5. IDENTIDAD a + 0 = 0 , a ⋅ 1 = a
6. INVERSO a + (−a) = 0, a ⋅ (1/a) = 1 con a ≠ 0Haz clic aquí para modificar.
Propiedades de la igualdad:
Existen, además, las propiedades de la igualdad. Algunas de ellas parecerán muy obvias; sin embargo, las debemos conocer para no cometer errores al efectuar operaciones.
REFLEXIVA
Para todo a ∈ ℜ, se tiene que: a = a
Todo número real es igual a sí mismo. Ejemplos: 2 = 2 , 3m = 3m, −1/7 = −1/7
SIMÉTRICA
Si a, b ∈ ℜ y si a = b entonces b = a .
La propiedad simétrica de la igualdad afirma que si se tiene una igualdad ésta se conserva, no importando el orden en que escribas los términos.
Ejemplos: Si 3(7 − 3) = 12 entonces 12 = 3(7 −3) Si −3a + 4 = 25 entonces 25 = −3a + 4 Si (x − 2) (x + 2) = x2 − 4 entonces x2 − 4 = (x − 2) (x + 2)
TRANSITIVA
Siendo a, b, c ∈ ℜ Si a = b y b = c , entonces a = c .
En esta propiedad se observa que necesariamente se deben tener tres elementos, de los cuales uno se repite en ambas igualdades; los otros dos elementos deben ser iguales. No podemos indicar esto con una triple igualdad, ya que esa "doble" igualdad no existe.
Ejemplo: Si 7 + x = 12 y 12 = 3 × 4 , entonces 7 + x = 3 × 4 .
SUSTITUCIÓN
Si a, b ∈ ℜ y si a = b , entonces a puede ser sustituida por b (o viceversa) en cualquier expresión o proposición.
Ejemplos: Si 2x − 8 = 4 y x = 6, entonces 2(6) − 8 = 4
Si y = − 3x + 5 y x = 4 entonces y = − 3(4) + 5
ADITIVA
Sea a, b, c ∈ ℜ Si a = b entonces a + c = b + c.
La propiedad aditiva permite sumar a ambos miembros de la igualdad un mismo número (sea positivo o negativo) y la igualdad no se altera. Desde otro punto de vista, dadas dos igualdades es posible sumar miembro a miembro cada igualdad, esto es, si a = b y c = d entonces a + c = b + d , o también a + d = b + c
Ejemplos: Si −3x − 4 = 7 entonces −3x − 4 + (5) = 7 + (5)
Si 4 y + w = 9 entonces 4 y + w + (−w) = 9 + (−w)
MULTIPLICATIVA
Teniendo a, b, c, d ∈ ℜ , si a = b, c ≠0 , entonces a ⋅ c = b ⋅ c
La propiedad indica que se puede multiplicar toda la igualdad por un mismo número real y no se altera. Si tenemos dos igualdades es posible multiplicar miembro a miembro cada igualdad, esto es: si a = b y c = d entonces a ⋅ c = b ⋅ d . Ejemplos: Si 17 − 5 = 12 entonces (17 − 5)(1/2) = (12)(1/2)
Si 2 − 3x = 4 + 5y entonces (−6)(2 − 3x) = (−6)(4 + 5y)
Propiedades de campo de los números reales:
Para todo a, b, c, d ∈ ℜ; a ≠ 0:
1. CERRADURA a + b ∈ ℜ , a ⋅ b ∈ ℜ
2. CONMUTATIVA a + b = b + a , a ⋅ b = b ⋅ a
3. ASOCIATIVA a + (b + c) = (a + b) + c, a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
4. DISTRIBUTIVA a ⋅ (b + c − d) = a⋅b + a⋅b − a⋅d
5. IDENTIDAD a + 0 = 0 , a ⋅ 1 = a
6. INVERSO a + (−a) = 0, a ⋅ (1/a) = 1 con a ≠ 0Haz clic aquí para modificar.
Propiedades de la igualdad:
Existen, además, las propiedades de la igualdad. Algunas de ellas parecerán muy obvias; sin embargo, las debemos conocer para no cometer errores al efectuar operaciones.
REFLEXIVA
Para todo a ∈ ℜ, se tiene que: a = a
Todo número real es igual a sí mismo. Ejemplos: 2 = 2 , 3m = 3m, −1/7 = −1/7
SIMÉTRICA
Si a, b ∈ ℜ y si a = b entonces b = a .
La propiedad simétrica de la igualdad afirma que si se tiene una igualdad ésta se conserva, no importando el orden en que escribas los términos.
Ejemplos: Si 3(7 − 3) = 12 entonces 12 = 3(7 −3) Si −3a + 4 = 25 entonces 25 = −3a + 4 Si (x − 2) (x + 2) = x2 − 4 entonces x2 − 4 = (x − 2) (x + 2)
TRANSITIVA
Siendo a, b, c ∈ ℜ Si a = b y b = c , entonces a = c .
En esta propiedad se observa que necesariamente se deben tener tres elementos, de los cuales uno se repite en ambas igualdades; los otros dos elementos deben ser iguales. No podemos indicar esto con una triple igualdad, ya que esa "doble" igualdad no existe.
Ejemplo: Si 7 + x = 12 y 12 = 3 × 4 , entonces 7 + x = 3 × 4 .
SUSTITUCIÓN
Si a, b ∈ ℜ y si a = b , entonces a puede ser sustituida por b (o viceversa) en cualquier expresión o proposición.
Ejemplos: Si 2x − 8 = 4 y x = 6, entonces 2(6) − 8 = 4
Si y = − 3x + 5 y x = 4 entonces y = − 3(4) + 5
ADITIVA
Sea a, b, c ∈ ℜ Si a = b entonces a + c = b + c.
La propiedad aditiva permite sumar a ambos miembros de la igualdad un mismo número (sea positivo o negativo) y la igualdad no se altera. Desde otro punto de vista, dadas dos igualdades es posible sumar miembro a miembro cada igualdad, esto es, si a = b y c = d entonces a + c = b + d , o también a + d = b + c
Ejemplos: Si −3x − 4 = 7 entonces −3x − 4 + (5) = 7 + (5)
Si 4 y + w = 9 entonces 4 y + w + (−w) = 9 + (−w)
MULTIPLICATIVA
Teniendo a, b, c, d ∈ ℜ , si a = b, c ≠0 , entonces a ⋅ c = b ⋅ c
La propiedad indica que se puede multiplicar toda la igualdad por un mismo número real y no se altera. Si tenemos dos igualdades es posible multiplicar miembro a miembro cada igualdad, esto es: si a = b y c = d entonces a ⋅ c = b ⋅ d . Ejemplos: Si 17 − 5 = 12 entonces (17 − 5)(1/2) = (12)(1/2)
Si 2 − 3x = 4 + 5y entonces (−6)(2 − 3x) = (−6)(4 + 5y)
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